Question

Является ли сходящейся последовательность
$frac{1}{2},- frac{1}{2}, frac{1}{3},- frac{1}{3},..., frac{1}{n} ,-frac{1}{n} ,...?$

Answer 1

$frac{1}{2},; -frac{1}{2},; frac{1}{3},; - frac{1}{3},; ...,; frac{1}{n},; - frac{1}{n},...$

Применим признак Лейбница:

$|a_{n}|=frac{1}{n}\\1)quad|a_1| geq |a_2| geq |a_3| geq |a_4| geq ...\\ frac{1}{2} geq frac{1}{2} geq frac{1}{3} geq frac{1}{3} geq ... geq frac{1}{n} geq ... \\2)quad lim limits _{nto 0}|a_n|=limlimits _{nto 0}, frac{1}{n}=0$

Все усовия признака выполнены, значит последовательность сходится.

Answer 2

Давай без Лейбницов — это 9-й класс

Answer 3

Лол, сходимости рядов не изучают в 9 классе, насколько я знаю. Ну, а так, ряд сходится, если его сумма в пределе конечная. Можно попарно суммировать элементы, они в сумме дают 0. Может остаться один элемент без пары, если рассматриваем нечетное число элементов. Но его предел при n->inf равен 0, поэтому и вся сумма будет равна 0, ибо сумма предыдущих элементов равна 0.