Question

интеграл | pi(сверху) -pi(снизу) xsin(x)cos(x)dx=?
Пожалуйста с подробным решением

Answer 1

$I= intlimits^{pi}_{-pi} {xsinxcosx}, dx$

$int {xsinxcosx}, dx = frac{1}{2} int xsin2xdx=-frac{1}{4} int xd(cos2x)=\ =-frac{1}{4} xcos2x+ frac{1}{4} int cos2xdx= -frac{1}{4} xcos2x+ frac{1}{8} sin2x+C$

$I=(-frac{1}{4} xcos2x+ frac{1}{8} sin2x)|_{-pi}^{pi}=(-frac{ pi }{4} cos2 pi + frac{1}{8} sin2 pi )-\ -(frac{ pi }{4} cos2 pi - frac{1}{8} sin2 pi )=-frac{ pi }{4} -frac{ pi }{4} =-frac{ pi }{2}$