Question

исследовать функцию y=1/3x^3-2x^2+4x+1 найти промежутки монотонности и координаты точек экстремма

Answer 1

Дана функция y=(1/3)x^3-2x^2+4x+1.
Производная равна (1/3)*3х² - 2*2х + 4 = х² - 4х + 4.
Находим критические точки, приравняв производную нулю:
х² - 4х + 4 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*1*4=16-4*4=16-16=0; 
Дискриминант равен 0, уравнение имеет 1 корень:x=-(-4/(2*1))=-(-2)=2. 

Исследуем поведение производной вблизи критической точки.
х =                  1.5      2     2.5
у' =x^2-4x+4    0.25    0     0.25.
Производная не меняет знак - значит, нет экстремума.

Так как производная положительна, то функция на всём числовом промежутке возрастающая.