Question

Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20м. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

Answer 1

Пусть х м-высота конуса.Тогда по т.Пифагора найдем радиус основания:R=√(20²-x²)=√(400-x²)
По формуле объема конуса имеем:
              V=πR²·H/3=π(400-x²)·x/3=(400πx-πx³)/3.Рассмотрим функцию
V(x)=(400πx-πx³)/3
и исследуем её на экстремум:
V'(x)=(400π-3x²π)/3,V'(x)=0, (400-3x²)π/3=0, 3x²=400,x²=400/3
x₁=20/√3,x₂=-20/√3-не подходит по условию задачи.
             +        max                      -
-------------------20/√3-------------------------->V'(x)
При Н=20/√3 воронка имеет наибольший объем.