Question

Вычислите площадь фигуры , обделённую линиями y=-x^2-4x ,y=4+x

Answer 1

Найдем точки пересечения параболы и прямой:
$4+x=-x^2-4x \ x^2+5x+4=0 \ (x+1)(x+4)=0 \ x_1=-4,x_2=-1$
Площадь , заключенная между функциями f1 и f2 равна:
$intlimits^{x_2}_{x_1} ({f_2(x)-f_1(x))} , dx$
где f2 - это верхняя, а f1 - нижняя из функций. В нашем случае f2-это парабола, обращенная ветвями вниз, а нижняя - это прямая, отсекающая от параболы выпуклую составляющую, содержащую вершину параболы. См рисунок.
$S= intlimits^{-1}_{-4} {(-x^2-4x-x-4)} , dx= -intlimits^{-1}_{-4} {(x^2+5x+4)} , dx= \ =-[ frac{x^3}{3} + frac{5x^2}{2} +4x]limits^{-1}_{-4}=-[-frac{1}{3}+frac{1}{2}-4+ frac{64}{3} -40+16]=27frac{1}{2}-frac{63}{3}= \ =6frac{1}{2}$