Question

16^sin^2x+16^cos^2x=10

Answer 1

Ответ:

$x_{1}=(-1)^{n+1}*frac{pi}{6} +pi n,$ n∈Z

$x_{2}=(-1)^{n}*frac{pi}{6} +pi n,$ n∈Z

$x_{3} =(-1)^{n+1}*frac{pi }{3} +pi n,$ n∈Z

$x_{4}=(-1)^{n}*frac{pi}{3}+pi n,$ n∈Z

Пошаговое объяснение:

$16^{sin^{2}x}+16^{cos^{2}x} =10$

основное тригонометрической тождество:

sin²x+cos²x=1,  cos²x=1-sin²x

$16^{cos^{2}x}=16^{1-sin^{2}x}=frac{16^{1}}{16^{sin^{2}x}}=frac{16}{sin^{2}x}$

$16^{sin^{2}x}+frac{16}{16^{sin^{2}x}}=10 |*16^{sin^{2}x}$

$(16^{sin^{2}x})^{2}-10*16^{sin^{2}x}+16=0$ -

тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

$16^{sin^{2}x} =t$, t>0

t²-10t+16=0, t₁=2, t₂=8

обратная замена:

t₁=2,  $16^{sin^{2}x}=2$ - простейшее показательное уравнение

$(2^{4})^{sin^{2}x}=2^{1}$

$2^{4*sin^{2}x}=2^{1}$

4sin²x=1

$sin^{2}x=frac{1}{4}$

$sinx=-+sqrt{frac{1}{4}}$

1. $sinx=-frac{1}{2}$

$x=(-1)^{n}*arcsin(-frac{1}{2})+pi n,$ n∈Z

$x=(-1)^{n+1}*frac{pi}{6}+pi n,$ n∈Z

2. $sinx=frac{1}{2}$

$x=(-1)^{n}*frac{pi }{6}+ pi n,$ n∈Z

t₂=8, $16^{sin^{2}x}=8$

$(2^{4} )^{sin^{2}x} =2^{3}$

$2^{4*sin^{2}x}=2^{3}$

$4sin^{2} x=3$

$sin^{2}x=frac{3}{4}$

$sinx=-+sqrt{frac{3}{4}}$

1. $sinx=-frac{sqrt{3}}{2}$

$x=(-1)^{n+1}*frac{pi}{3}+pi n,$ n∈Z

2. $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$

$x=(-1)^{n}*frac{pi }{3}+pi n,$ n∈Z