Question

Помогите пожалуйста!!!!Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка.

Answer 1

Для начала найдём общее решение однородного уравнения:
y''+2y'+5y=0
Характеристическое уравнение:
λ²+2λ+5=0
D=4-20=-16
√D=4i
λ₁= (-2+4i)/2 = -1+2i
λ₂= (-2-4i)/2 = -1-2i
Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:
$y_{ob}=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))$

Теперь найдём частное решения неоднородного уравнение. Оно будет искаться в виде:
$bar{y}=Ax+B\bar{y}'=A\bar{y}''=0$
Подставляем и находим коэффициенты:
$bar{y}''+2bar{y}'+5bar{y}=5x+7\0+2A+5(Ax+B)=5x+7\(5A)x+(2A+5B)=5x+7$
Коэффициенты при соответствующих степенях должны быть одинаковыми:
$(5A)x+(2A+5B)=5x+7\ left { {{5A=5} atop {2A+5B=7}} right. rightarrow left { {{A=1} atop {B=1}} right.$
Получаем частное решение неоднородного:
$bar{y}=Ax+B=x+1$

Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения:
$y=y_{ob}+bar{y}=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1$


$y(0)=2\e^{-0}*(C_1cos(2*0)+C_2sin(2*0))+0+1=2\1*(C_1*1+C_2*0)+1=2\C_1=1$

$y'=(e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1)'=\=-e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+e^{-x}*\ *(-2C_1sin(2x)+2C_2cos(2x))+1\\y'(0)=0\-e^{-0}*(C_1cos(2*0)+C_2sin(2*0))+e^{-0}*\ *(-2C_1sin(2*0)+2C_2cos(2*0))+1=0\-1*(C_1*1+C_2*0)+1*(-2C_1*0+2C_2*1)+1=0\-C_1+2C_2=-1\-1+2C_2=-1\C_2=0$

Ответ: 
$y=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1=boxed{e^{-x}cos(2x)+x+1}$

Answer 2

Пишите, если есть вопросы