Question

Даны точки A(1;1) B(2;3) C(0;4)
D(-1;2). Докажите что ABCD прямоугольник.

Answer 1

1) Докажем, что АВСД-параллелограмм, т.е. векторы АВ и ДС равны.
$vec{AB}= { 2-1;3-1 } = {1;2 }; vec{DC}={ 0+1;4-2 } = {1;2 }$
⇒ AB = CD и AB || CD.
Значит, АВСД - параллелограмм (по признаку).
2) Докажем, что у этого параллелограмма есть прямой угол, т.е. скалярное произведение векторов АВ и ВС равно 0.
$vec{AB}={ 1;2 }; vec{BC}={ -2;1 };\ = textgreater vec{AB} cdot vec{BC}= 1*(-2)+2*1=-2+2=0$
Итак, у параллелограмма АВСД имеется прямой угол. Значит, АВСД - прямоугольник.