Question

Дан неопределенный интеграл: (x+5)/(x^2+x-2)
и первом шагом этого решения является этот шаг изображенный на фото. Объясните как так получилось?

Answer 1

Сначала знаменатель х² + х - 2 разложили на множители, вычислив его корни, например, с помощью дискриминанта: х² + х - 2 = (х + 2)(х - 1).
Затем представили исходную дробь $frac{x+5}{ x^{2} +x-2}$ как сумму дробей с различными знаменателями х + 2 и х - 1, а числители нашли, например, методом неопределенных коэффициентов:
$frac{x+5}{ x^{2} +x-2} = frac{a}{ x+2} + frac{b}{ x-1} = frac{ax-a+bx+2b}{ x^{2} +x-2} = frac{(a+b)x+(2b-a)}{ x^{2} +x-2}$
Сравниваем исходный и полученный числители:
х + 5 = (a + b)x + (2b - a)
Отсюда следует, что
$left { a+b=1} atop {2b-a=5}} right. textless = textgreater left { 3b=6} atop {a=1-b}} right. textless = textgreater left { b=2} atop {a=-1}} right.$
Найденный значения для а и b подставим в числители дробей:
$frac{x+5}{ x^{2} +x-2} = frac{-1}{x+2}+ frac{2}{x-1} =- frac{1}{x+2}+ frac{2}{x-1}$
В этом - суть вашего вопроса.