Question

Помогите, пожалуйста, решить комбинированный №15 из ЕГЭ по математике (бывш. С3)
Ответ $3/4 textless x leq 7$

Answer 1

*Не думаю что это решение лучшее, но другого я просто не увидел.
Найдем ОДЗ:
$4x-3 textgreater 0$
$x textgreater frac{3}{4}$
Исходя из данных ограничений, можно открыть модуль и переписать неравенство в другом виде:
$frac{{x^3-8+6x(2-x)} }{4x-3} leq (4x-3)^{1/2}$
Числитель дроби можно преобразовать:
$x^3-8+6x(2-x)=(x-2)(x^2+2x+4-6x)=(x-2)^3$
Таким образом мы пришли к этому:
$frac{(x-2)^3}{4x-3} leq (4x-3)^{1/2}$
Перенесем все в одну часть, внесем под один знаменатель:
$frac{(x-2)^3-((4x-3)^{1/2})^3}{4x-3} leq 0$
Раскроем числитель как разность кубов:
$frac{((x-2)- sqrt{4x-3})((x-2)^2-(x-2)sqrt{4x-3}+4x-3)}{4x-3} leq 0$
Попробуем решить это неравенство методом интервалов, т.е. для начала найдем нули функции:
1) $(x-2)- sqrt{4x-3}=0$
$left { {{(4x-3)=(x-2)^2} atop {x geq 2}} right.$
Единственное решение $x=7$
(и второе решение не влияет на знак неравенства, положительно)
2) $(x-2)^2-(x-2)sqrt{4x-3}+4x-3=0$
$left { {{4x-3=(x-2)^2+2(x-2) frac{4x-3}{x-2} +(frac{4x-3}{x-2})^2} atop {(x-2)+frac{4x-3}{x-2} geq 0}} right.$
После частичного упрощения верхнего уравнения системы получим:
$left { {{-x^2-1=(frac{4x-3}{x-2})^2} atop {xgeq 2}} right.$
Дальше решать смысла нет, т.к. верхнее уравнение не будет иметь решений (левая часть равенства всегда отрицательна, правая - положительна)
Одновременно с этим знак выражения
$(x-2)^2-(x-2)sqrt{4x-3}+4x-3$
на допустимом (ОДЗ) интервале всегда положителен, поэтому оно никак не влияет на знак неравенства.*

Тогда все наше первоначальное неравенство эквивалентно данному:
$frac{x-7}{4x-3} leq 0$
Его решением и будет являться (с учетом ОДЗ)
$frac{3}{4} textless x leq 7$

* Можно обосновать так:
$a^2-ab+b^2= textgreater (frac{a}{b} )^2-(frac{a}{b})+1$ (в нашем случае уместно)
$D textless 0$, коэффициент при числе в квадрате положителен, значит и все значения функции на интервале ОДЗ положительны.