Предмет: Математика, автор: gartenzie


Имея в виду табличные интегралы:



 1T).     int{dx} = x + C  ;

 2T).     int{x^n} , dx = frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C  ;     n neq -1  ;

 3T).     int{ frac{dx}{x} } = ln{|x|} + C  ;

выведем ещё один:

учтём, что:

 dx^2 = 2xdx  ;   Rightarrow   2xdx = dx^2  ;   Rightarrow \\ Rightarrow   int{ f(x) } , xdx = frac{1}{2} int{ f(x) } , 2xdx = frac{1}{2} int{ f(x) } , dx^2  ;

тогда:

 int{ frac{x}{ x^2 pm a } } , dx = frac{1}{2} int{ frac{ 2xdx }{ x^2 pm a } } = frac{1}{2} int{ frac{ dx^2 }{ x^2 pm a } } = frac{1}{2} int{ frac{ d( x^2 pm a ) }{ x^2 pm a } } = frac{1}{2} ln{ | x^2 pm a | } + C  ;



Итак:

 1T).     int{dx} = x + C  ;

 2T).     int{x^n} , dx = frac{ x^{n+1} }{ n + 1 } + C  ;     n neq -1  ;

 3T).     int{ frac{dx}{x} } = ln{|x|} + C  ;

 4T).     int{ frac{x}{ x^2 pm a } } , dx = frac{1}{2} ln{ | x^2 pm a | } + C  ;



Возьмём интеграл:

 int{ d ( arcCtg{x} ) } = arcCtg{x} + C  ;

 int{ d ( sh{x} ) } = sh{x} + C  ;



Возьмём интеграл:

 int{ ( (x-3)^5 - (5-x)^3 ) } , dx = int{ (x-3)^5 } , d(x-3) + int{ (x-5)^3 } , d(x-5) = \\ = frac{ (x-3)^6 }{6} + frac{ (x-5)^4 }{4} + C  ;

Проверим:

 ( frac{ (x-3)^6 }{6} + frac{ (x-5)^4 }{4} + C )'_x = ( frac{ (x-3)^6 }{6} )'_x + ( frac{ (x-5)^4 }{4} )'_x = \\ = 6 cdot frac{ (x-3)^{6-1} }{6} + 4 cdot frac{ (x-5)^{4-1} }{4} = (x-3)^5 - (5-x)^3  ;



Возьмём интеграл:

 int{ frac{dx}{ (x+11)^4 } } = int{ (x+11)^{-4} } , d(x+11) = \\ = frac{ (x+11)^{-4+1} }{ -4+1 } + C = - frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C  ;

Проверим:

 ( - frac{1}{ 3 (x+11)^3 } + C )'_x = (-3) cdot ( - frac{1}{ 3 (x+11)^{3+1} } ) = frac{1}{ (x+11)^4 }  ;



Возьмём интеграл:

 int{ frac{2dx}{7x+1} } = 2 int{ frac{dx}{7x+1} } = frac{2}{7} int{ frac{d(7x)}{7x+1} } = frac{2}{7} int{ frac{d(7x+1)}{7x+1} } = frac{2}{7} ln{|7x+1|} + C  ;

Проверим:

 (  frac{2}{7} ln{|7x+1|} + C )'_x = frac{2}{7} cdot frac{1}{7x+1} cdot 7 = frac{2}{7x+1}  ;



Возьмём интеграл:

 int{ frac{5xdx}{3x^2-2} } = frac{5}{2} int{ frac{2xdx}{3x^2-2} } = frac{5}{2} int{ frac{dx^2}{3x^2-2} } = \\ = frac{5}{6} int{ frac{d3x^2}{3x^2-2} } = frac{5}{6} int{ frac{d(3x^2-2)}{3x^2-2} } = frac{5}{6} ln{ | 3x^2-2 | } + C  ;

Проверим:

 ( frac{5}{6} ln{ | 3x^2-2 | } + C )'_x = frac{5}{6} cdot frac{1}{3x^2-2} cdot 3 cdot 2x = frac{5x}{3x^2-2}  ;





З А Д А Н И Е:

Найти неопределённый (обычный) интеграл и

проверить его дифференцированием (взять проиводную, кроме 1-ого номера):


 1a).     int{ d ( arcsin{x} ) }  ;

 1b).     int{ d|x| }  ;

 1c).     int{ d ln{ arctg{x} } }  ;


 2a).     int{ ( 8x^3 - 12(2-x)^5 ) } , dx  ;

 2b).     int{ ( 28(37-x)^{111} - 19(3+x)^{37} ) } , dx  ;


 2c).     int{ frac{6dx}{ (x-12)^3 } }  ;

 2d).     int{ frac{12dx}{ (19-x)^7 } }  ;


 3a).     int{ frac{3dx}{ 9-2x } }  ;

 3b).     int{ frac{2dx}{ 3x-7 } }  ;


 4a).     int{ frac{4xdx}{ 2x^2-5 } }  ;

 4b).     int{ frac{11xdx}{ 7x^2+6 } }  ;

 4c).     int{ frac{3xdx}{ (3x)^2-2 } }  ;



Ответы

Автор ответа: бабаУля
0
1a).   int d(arcsin x)=arcsin x+C\\ 1b).   int d|x|=|x|+C\\ 1c).   int dln arctan x=ln (arctan x)+C


2a).   int (8x^3-12(2-x)^5)dx=int 8x^3dx-int 12(2-x)^5dx=\\ =8int x^3dx+12int(2-x)^5d(2-x)=8cdot frac{x^4}{4}+ frac{12(2-x)^6}{6}+C=\\ =2x^4+2(2-x)^6+C

Проверка:

(2x^4+2(2-x)^6)'=8x^3+2cdot6cdot(-1)cdot(2-x)^5cdot=8x^3-12(2-x)^5


2b).   int(28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37})dx= \\
\\ = int28(37-x)^{111}dx-int19(3+x)^{37}dx= \\ =-28int(37-x)^{111}d(37-x)-19int(3+x)^{37}d(3+x)=\\=frac{-28(37-x)^{112}}{112}- frac{19(3+x)^{38}}{38}+C=\\=-frac{(37-x)^{112}}{4}- frac{(3+x)^{38}}{2}+C=\\=-frac{1}{4}(37-x)^{112}-frac{1}{2}(3+x)^{38}+C

Проверка:

(-frac{1}{4}(37-x)^{112}-frac{1}{2}(3+x)^{38})'=\\=-frac{1}{4}((37-x)^{112}})'- frac{1}{2}((3+x)^{38})'=\\=-frac{1}{4}cdot 112cdot(-1)cdot(37-x)^{111}- frac{1}{2}cdot38cdot1cdot(3+x)^{37}=\\
=28(37-x)^{111}-19(3+x)^{37}



2c).   int  frac{6dx}{(x-12)^3} =6int(x-12)^{-3}d(x-12)=6cdot frac{(x-12)^{-2}}{-2}+C=- frac{3}{(x-12)^2} +C

Проверка:


(- frac{3}{(x-12)^2} )'=-3cdot((x-12)^{-2})'=-3cdot(-2)cdot(x-12)^{-3}= frac{6}{(x-12)^3}



2d).   int  frac{12dx}{(19-x)^7}=12int (19-x)^{-7}dx=\\=-12int(19-x)^{-7}d(19-x)=-12cdot frac{(19-x)^{-6}}{-6}+C= frac{2}{(19-x)^6}+C

Проверка:

( frac{2}{(19-x)^6})'=2cdot((19-x)^{-6})'=2cdot(-6)(-1)cdot(19-x)^{-7}=12(19-x)^{-7}= frac{12}{(19-x)^7}



3a).   int frac{3dx}{9-2x} =3int frac{dx}{9-2x} =- frac{3}{2} int frac{d(9-2x)}{9-2x}=- frac{3}{2}ln|9-2x|+C

Проверка:

- frac{3}{2}(ln|9-2x|)'=- frac{3}{2}cdot(-2)cdot frac{1}{9-2x}= frac{3}{9-2x}



3b).   int frac{2dx}{3x-7}=2int frac{dx}{3x-7}= frac{2}{3} int frac{d(3x-7)}{3x-7}= frac{2}{3}ln|3x-7|+C

Проверка:

( frac{2}{3}ln|3x-7|)'= frac{2}{3}cdot3cdot frac{1}{3x-7}= frac{2}{3x-7}


4a).   int  frac{4xdx}{2x^2-5}= frac{4}{2}int  frac{2xdx}{2x^2-5}=2int  frac{dx^2}{2x^2-5}= frac{2}{2}int  frac{d2x^2}{2x^2-5} =int  frac{d(3x^2-5)}{3x^2-5}=\\
=ln |2x^2-5|+C

Проверка:

(ln |2x^2-5|)'= frac{1}{2x^2-5} cdot 4x= frac{4x}{2x^2-5}


4b).   int frac{11xdx}{7x^2+6}=  frac{11}{2}int  frac{2xdx}{7x^2+6}= frac{11}{14} int frac{d7x^2}{7x^2+6}= frac{11}{14}int frac{d(7x^2+6)}{7x^2+6}= frac{11}{14}ln |7x^2+6|+C

Проверка:

( frac{11}{14}ln|7x^2+6| )'= 
frac{11}{14}cdot(ln|7x^2+6|)'cdot(7x^2+6)'= frac{11}{14}cdot14xcdot
  frac{1}{7x^2+6}=\\
= frac{11x}{7x^2+6}



4c).   int  frac{3xdx}{(3x)^2-2}= frac{3}{2}int frac{2xdx}{9x^2-2}= frac{3}{2} int frac{dx^2}{9x^2-2}= frac{3}{2}cdot frac{1}{9}int   frac{d9x^2}{9x^2-2}=\\
=  frac{1}{6}int frac{d(9x^2-2)}{9x^2-2}= frac{1}{6}ln|9x^2-2|+C

Проверка:

( frac{1}{6}ln|9x^2-x|)'= frac{1}{6}(ln|9x^2-2|)'cdot(9x^2-2)'= frac{1}{6}cdot18xcdot frac{1}{9x^2-2}= frac{3x}{ 9x^2-2}
Похожие вопросы
Предмет: Алгебра, автор: Sonya0310