Question

Пожалуйста помогите решить
e^y=e-xy

Answer 1

Единственное, что тут можно сделать – выразить x(y):

e^y = e – xy ;

$e^y = e - xy ;$

$xy = e - e^y ;$

$x = frac{ e - e^y }{y} .$


В коментах просят проиводную:

Продифференцируем исходное уравнение
по переменной    $x ,$    и получим:

$e^y cdot y'_x = - y - x y'_x ;$

$e^y cdot y'_x + x y'_x = - y ;$

$y'_x cdot ( e^y + x ) = - y ;$

$y'_x cdot ( e - xy + x ) = - y ;$

$y'_x = frac{y}{ xy - x - e } ;$

$y'_x = frac{y}{ x ( y - 1 ) - e } ;$


Если подставить значение    $x(y) = frac{ e - e^y }{y} ,$    то мы получим:

$y'_x (y) = frac{y}{ ( y - 1 )( e - e^y )/y - e } = frac{y}{ ( 1 - 1/y )( e - e^y ) - e } = frac{y}{ e - e^y - e/y + (e^y)/y - e } = \\ = frac{y}{ (e^y)/y - ( y cdot e^y )/y - e/y } = frac{y}{ ( e^y - y cdot e^y - e )/y } = frac{y^2}{ e^y - y cdot e^y - e } = frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } ;$


Можно продиффиренцировать    $x(y) ,$    и мы получим:

$x'_y (y) = frac{ - e^y cdot y - e + e^y }{y^2} = frac{ e^y ( 1 - y ) - e }{y^2} .$

$y'_x (y) = frac{dy}{dx} = 1 / frac{dx}{dy} = 1 / x'_y (y) = frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } ,$
что так же было уже найдено и раньше.



Ответ:

$frac{dy}{dx} = y'_x (x,y) = frac{y}{ x ( y - 1 ) - e } ;$

$frac{dy}{dx} = y'_x (y) = frac{y^2}{ e^y ( 1 - y ) - e } ;$

$frac{dx}{dy} = x'_y (y) = frac{ e^y ( 1 - y ) - e }{y^2} .$







*** Если же (вдруг) это дифур. Т.е. требуется решить дифференциальное уравнение (в общем виде), и правильно условие записывается, как:

e^y = e - xy' ;

то решение было бы таким:

$e^y = e - xy' ;$

$xy' = e - e^y ;$

$x frac{dy}{dx} = e - e^y ;$

$frac{dy}{ e - e^y } = frac{dx}{x} ;$

$int{ frac{ dy }{ e - e^y } } = int{ frac{dx}{x} } ;$

$int{ frac{ dln{e^y} }{ e - e^y } } = ln{|x|} ;$

$int{ frac{ (de^y)/e^y }{ e - e^y } } = ln{|x|} ;$

$int{ frac{ de^y }{ e cdot e^y - (e^y)^2 } } = ln{|x|} ;$

$frac{1}{e} int{ ( frac{ de^y }{e^y} + frac{ de^y }{ e - e^y } ) } = ln{|x|} ;$

$frac{1}{e} ( int{ frac{ de^y }{e^y} } + int{ frac{ de^y }{ e - e^y } } ) = ln{|x|} ;$

$frac{1}{e} ( ln{e^y} - int{ frac{ d( e - e^y ) }{ e - e^y } } ) = ln{|x|} ;$

$frac{1}{e} ( ln{e^y} - ln{ | e - e^y | } ) = ln{|x|} + C_2 ;$

$ln{ frac{e^y}{ | e - e^y | } } = e ln{ | C_1 x | } ;$

$ln{ frac{1}{ | e cdot e^{-y} - 1 | } } = ln{ ( C x^e ) } ;$

$frac{1}{ e^{1-y} - 1 } = C x^e ;$

$e^{1-y} - 1 = C x^{-e} ;$

$e^{1-y} = 1 + C x^{-e} ;$

$1-y = ln{ ( 1 + C x^{-e} ) } ;$

$y = 1 - ln{ ( 1 + frac{C}{x^e} ) } ;$


Общее решение дифференциального уравнения e^y = e – xy' :

$y = 1 - ln{ ( 1 + frac{C}{x^e} ) } ;$

Answer 2

подскажите, пожалуйста, как из этого e^y=e-xy выразить производную

Answer 3

Что же вы в задании не написали.

Answer 4

Проивходную по какой переменной?

Answer 5

"По" какой и "от" какой?