Question

Куб пересечен плоскостью, проходящей через середины трёх его ребер, исходящих из одной вершины. Площадь сечения равна 16√3. Какова площадь поверхности шара вписанного в этот куб?

Answer 1

Шар с радиусом R вписан в куб.
Тогда ребро куба равно диаметру шара 2R.

Секущая плоскость проходит через середины рёбер куба, отсекая от каждой грани прямоугольный равнобедренный треугольник с катетами R.
Тогда гипотенуза такого треугольника равна  с = R√2 .
Три гипотенузы - это стороны равностороннего треугольника, который получился в сечении.
Площадь равностороннего треугольника в сечении 
 $S_3 = \frac{c^2 \sqrt{3} }{4}$    по условию равна   16√3 ⇒
$\frac{c^2 \sqrt{3} }{4} =16 \sqrt{3} \\ \\ \frac{(R \sqrt{2} )^2 \sqrt{3} }{4} =16 \sqrt{3} \\ \\ R^2*2* \sqrt{3} =64 \sqrt{3}$
R² = 32
Площадь поверхности шара
S = 4πR² = 4π*32 = 128π