Question

Составить уравнение касательной к плоскости и нормали к данной поверхности в данной точке.

√4+х^2+y^2      выражение все под корнем

точка(3;6;7)

Answer 1

поверхност задана в явном виде

$z(x,y)=sqrt{4+x^2+y^2};$

Частные производные равны

$z'_x=frac{1}{2sqrt{4+x^2+y^2}}*(2x)=frac{x}{sqrt{4+x^2+y^2}};\\z'_y=frac{y}{sqrt{4+x^2+y^2}}$

Значение частных производнхых в данной точке равны

$z'_x|(3;6;7)=frac{3}{sqrt{4+3^2+6^2}}=frac{3}{sqrt{4+9+36}}=frac{3}{7};\\z'_y|(3;6;7)=frac{6}{7}$

Уравнение касательной

$z'_x |(x_o;y_o;z_o)*(x-x_o)+z'_y |(x_o;y_o;z_o)*(y-y_o)=z-z_0;\\ frac{3}{7}*(x-3)+frac{6}{7}*(y-6)=z-7;\\ 3(x-3)+6(y-6)=7(z-7);\\ 3x-9+6y-36-7z+49=0;\\ 3+-6y-7z+4=0;$

Координаты нормали

$(-frac{z'_x|(x_o;y_o;z_o)}{sqrt{(z'_x|(x_o;y_o;z_o))^2+(z'_y|(x_o;y_o;z_o))^2+1}};-frac{z'_y|(x_o;y_o;z_o)}{sqrt{(z'_x|(x_o;y_o;z_o))^2+(z'_y|(x_o;y_o;z_o))^2+1}};1)=$

$(-frac{frac{3}{7}}{sqrt{(frac{3}{7})^2+(frac{6}{7})^2+1}};-frac{frac{3}{7}}{sqrt{(frac{6}{7})^2+(frac{6}{7})^2+1}};1}=\\ (-frac{3}{sqrt{46}};-frac{6}{sqrt{46}};1)$

Уравнение нормали

$frac{x-x_0}{l}=frac{y-y_o}{m}=frac{z-z_0}{n};\\ frac{x-3}{-frac{3}{sqrt{46}}}=frac{y-5}{-frac{6}{sqrt{46}}}=frac{z-7}{1}$