Question

Решить тригонометрическое уравнение.

Answer 1

$(sinx+cosx)^4+(sinx-cosx)^4=3-sin4x$

$((sinx+cosx)^2)^2+((sinx-cosx)^2)^2=3-sin4x$

$(sin^2x+cos^2x+2sinx*cosx)^2+(sin^2x+cos^2x-2sinx*cosx)^2=$$3-sin4x$

$(1+sin2x)^2+(1-sin2x)^2=3-sin4x$

$1+2sin2x+sin^22x+1-2sin2x+sin^22x=3-sin4x$

$2+2sin^22x=3-sin4x$

$2+2sin^22x-3+sin4x=0$

$2sin^22x+sin4x-1=0$

$2sin^22x+sin4x-(cos^22x+sin^22x)=0$

$2sin^22x+sin4x-cos^22x-sin^22x=0$

$sin^22x-cos^22x+sin4x=0$

$-cos4x+sin4x=0$   |  :$cos4x neq 0$

$-1+tg4x=0$

$tg4x=1$

$4x= frac{ pi }{4} + pi k,$  $k$∈$Z$

$x= frac{ pi }{16} + frac{ pi k}{4} ,$  $k$∈$Z$

$cos4x neq 0$

$4x neq frac{ pi }{2} + pi n,$  $n$∈$Z$

$x neq frac{ pi }{4} + frac{ pi n}{2} ,$  $n$∈$Z$

P. S.
$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab$

$sin2 alpha =2sin alpha *cos alpha$

$cos2 alpha =cos^2 alpha -sin^2 alpha$