Question

В параллелограмме ABCD угол ABC=120 градосов. Биссектриса BP угла ABC пересекает сторону AD в точке P. Известно, что BP=6cм, PD=4см. Вычислите длины диагоналей параллелограмма.

Answer 1

<ABP=<PBC=60° (так как ВР - биссектриса угла 120°)
<BPA=<PBC (как накрест лежащие при параллельных АD и ВС и секущей ВР). Значит <BPA=60° и треугольник АВР - равносторонний.
Тогда АВ=АР=ВР=6 см  и АD=10см.
По теореме косинусов BD²=AB²+AD²-2*AB*AD*Cos60°. В нашем случае:   BD²=6²+10²-2*6*10*(1/2) = 76. BD=2√19.
По теореме косинусов АС²=AB²+ВС²-2*AB*ВС*Cos120°.
Сos120=-Cos60.
В нашем случае:   АС²=6²+10²+2*6*10*(1/2) = 196. АС=14
Ответ: АС=14см, ВD=2√19.