Question

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Answer 1

Дана окружность с центром О, она касается стороны АС в точке Н и продолжений сторон ВА и ВС треугольника АВС. Точка Н будет находиться в середине АС, т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, а в равнобедренном треугольнике биссектриса (из вершины напротив основания является и медианой, и высотой)
Нужно найти радиус окружности с центром М, вписанной в треугольник ABC.
Т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис, то значит, что АМ –биссектриса <ВАС, АО- биссектриса угла, ему смежного при вершине <А. Тогда < ОАМ- прямой как угол между биссектрисами смежных углов.
В прямоугольном ΔОАМ  АН – высота, т.к. радиусы ОН и МН проводятся к касательной АС под прямым углом.
Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы, на которые она делится основанием высоты. Тогда АН²=ОН*МН. Следовательно, МН =АН²/ОН=6²/8= 4,5.