Question

А₁=1, А₂=3, Аₐ₊₂= 4Aₐ₊₁ -3Aₐ - при всех натуральных а.

Найдите А₂₀₁₆

Answer 1

Решение в приложении. Полный ответ не выписываю, потому что больно длинный

Answer 2

A_(1) =A₁=1; A_(2)= A₂=3 ; A_(n+2) =4A_(n+1) -3A_(n).
проверка
A_(3) =A_(1+2)=4*A_(2) -3*A_(1) =4*3 -3*1=3² =3^(3-1)
* * * A₃ =4*A₂ -3*A₁=4*3 -3*1=3² =3^(3-1) * * *
* * *( 3 в степени индекс-1)   * * *

* * * 
a_(n) =3^(n-1) верно для всех n ∈N.
1)
a_1 =1 =3^(1-1) =3⁰=1 ;
a_2 =3 =3^1.
...
...
2)предположим, что a_(n) =3^(n-1) верно при  любой  n =к .
a_(k) =3^(k-1)   
3) докажем что a_(k+1) =3^ k .
a_(k+1)=4a_(k) -3a_(k-1)=4*3^(k-1)-3*3^(k-2) =3^(k-1)(4 -1) =3^(k-1).
----
a_(2016) =3²⁰¹⁵ .  ||  a₂₀₁₆=3²⁰¹⁵ ||