Question

Помогите, пожалуйста!

Найти производную функции; область определения функции, возрастание, убывание, перегибы.

Answer 1

Область определения:
4 - x^2 =/= 0
(2 - x)(2 + x) =/= 0
x =/= -2; x =/= 2
Производная
$y'= frac{-8(4-x^2) - (-8x)(-2x)}{(4-x^2)^2}= frac{-32+8x^2-16x^2}{(4-x^2)^2} =frac{-32-8x^2}{(4-x^2)^2}= frac{-8(4+x^2)}{(4-x^2)^2}$
Экстремумы
$y'=frac{-8(4+x^2)}{(4-x^2)^2}=0$
Числитель дроби не равен 0 ни при каком х.
Решений нет, производная отрицательна на всей области определения функции.
График всюду убывает.
(-oo; -2) U (-2; 2) U (2; +oo)
Перегибы.
$y''= -8*frac{2x(4-x^2)^2-(4+x^2)*2(4-x^2)(-2x)}{(4-x^2)^4}=$
$=-8*frac{2x(4-x^2)-(4+x^2)*2(-2x)}{(4-x^2)^3}=-8* frac{2x(4-x^2)+2x*2(4+x^2)}{(4-x^2)^3} =$
$=-16x* frac{4-x^2+8+2x^2}{(4-x^2)^3}=-16x* frac{12+x^2}{(4-x^2)^3} =0$
Числитель дроби не равен 0 ни при каком х, поэтому точка перегиба только одна: x = 0; y(0) = 0