Question

Даны положительные числа a, b, c такие, что
a^2 =11,
b^2 =13,
c^2 =48.
Разрешается использовать только операции сложения, вычитания и
умножения, запоминать любое количество промежуточных результатов и
сравнивать их с нулем. Можно ли с помощью этих действий проверить
равенство a + b = c ?

Answer 1

Ответ: да, можно.

Предположим, что a + b = c. Возведём это равенство в квадрат:
$(a+b)^2=c^2$
$2ab=c^2-a^2-b^2$ - ещё раз возводим в квадрат:
$4a^2b^2=(c^2-a^2-b^2)^2$
$4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2=0$

Выполнение этого равенства необходимо (не факт, что достаточно!) для того, чтобы выполнилось a + b = c, при этом его можно проверить при помощи указанных операций (первое слагаемое, например, представимо в виде $(a^2 + a^2)(b^2 + b^2)$, а второе слагаемое и разность получаются тривиально).

Проверим на наших числах:
$4 cdot11cdot13-(48-11-13)^2=-4ne0$, поэтому a, b, c гарантированно не удовлетворяют указанному равенству.

__________________________________

Попробуем понять, достаточно ли выведенное условие, т.е. может ли случиться так, что для каких-то положительных $a$, $b$, $c$ выполняется $4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2=0$ но $a+bne c$.  Решаем уравнение:
$4a^2b^2-(c^2-a^2-b^2)^2=0$
$(c^2-(a^2-2ab+b^2))(c^2-(a^2+2ab+b)^2))=0$
$(c^2-(a+b)^2)(c^2-(a-b)^2)=0$
$(c-(a+b))(c-(a-b))(c-(b-a))(c+(a+b))=0$

Итак, выведенное уравнение выполняется при $c=pm apm b$ (знаки выбираются независимо). Кроме нужного случая добавляются ещё 3 возможных решения, при этом два из них отсекаются при условии положительности чисел, остаётся только две возможности:
1) $c=a+b$
2) $c=|a-b|$
Если выполняется условие $c>a$, $c>b$, то реализуется первый случай, иначе - второй.
Итак, выведенное условие необходимо и достаточно в том случае, если $c^2$ - максимальное из трёх чисел.