Question

Помогите пожалуйста нужно пошаговое решение!
Доказать, что во всяком треугольнике ABC между его площадью S и радиусами вписанной и описанной окружности существует соотношение $S textgreater 2 sqrt{r^{3}R }$

Answer 1

для любого треугольника справедливы формулы
(a,b,c - стороны, р - полупериметр)

$S=frac{a+b+c}{2}r=pr$
$S=frac{abc}{4R}$
$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
отсюда

$r^3R=frac{S^3}{p^3}*frac{abc}{4S}=frac{S^2abc}{4p^3}$
$frac{S^2}{4}=r3Rfrac{p^3}{abc}$

Докажем что для любой стороны треугольника справедливо
полупериметр больше любой стороны
$p>a; p>b; p>c$

не ограничивая общности пусть
$a leq b leq c$
по неравенству треугольника
$c<a+b$
откуда
$c+c<a+b+c$
$2c<a+b+c$
$c <frac{a+b+c}{2}$
$a leq b leq c <p$
доказано

значит $frac{p}{a}>1$
$frac{p}{b}>1$
$frac{p}{c}>1$

а значит $frac{S^2}{4}=r^3R*frac{p^3}{abc}=\\r^3R*frac{p}{a}*frac{p}{b}*frac{p}{c}>r^3R$
что равносильно неравенству $S>2sqrt{r^3R}$
Доказано