Question

Помогите............

 

 

По координатам вершин треугольника А(6;5) , B(2;-4) , C(-2;-1) найдите длины его медиан.

Answer 1

Решаю векторами.

 

Радиусы-векторы точек-вершин:

$mathbf{r}_A = 6mathbf{i} + 5mathbf{j}$

$mathbf{r}_B = 2mathbf{i} - 4mathbf{j}$

$mathbf{r}_C = -2mathbf{i} - 1mathbf{j}$

 

Векторы сторон треугольника:

$mathbf{AB} = mathbf{r}_B - mathbf{r}_A = -4mathbf{i} - 9mathbf{j}$

$mathbf{BC} = mathbf{r}_C - mathbf{r}_B = -4mathbf{i} + 3mathbf{j}$

$mathbf{CA} = mathbf{r}_A - mathbf{r}_C = 8mathbf{i} + 6mathbf{j}$

 

Медиа́на треуго́льника (лат. mediāna — средняя) ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 

Обозначив D — середина AB; E — середина BC; F — середина CA, находим радиусы-векторы середин сторон:

$mathbf{r}_D = mathbf{r}_A + frac{1}{2} mathbf{AB} = left(6 - frac{4}{2}right)mathbf{i} + left(5 - frac{9}{2}right)mathbf{j} = 4mathbf{i} + 0,5mathbf{j}$

$mathbf{r}_E = mathbf{r}_B + frac{1}{2} mathbf{BC} = left(2 - frac{4}{2}right)mathbf{i} + left(-4 + frac{3}{2}right)mathbf{j} = 0mathbf{i} - 2,5mathbf{j}$

$mathbf{r}_F = mathbf{r}_C + frac{1}{2} mathbf{CA} = left(-2 + frac{8}{2}right)mathbf{i} + left(-1 + frac{6}{2}right)mathbf{j} = 2mathbf{i} + 2mathbf{j}$

 

Векторы медиан CD, AE и BF:

$mathbf{CD} = mathbf{r}_D - mathbf{r}_C = 6mathbf{i} + 1,5mathbf{j}$

$mathbf{AE} = mathbf{r}_E - mathbf{r}_A = -6mathbf{i} - 7,5mathbf{j}$

$mathbf{BF} = mathbf{r}_F - mathbf{r}_B = 0mathbf{i} + 6mathbf{j}$

 

Длины медиан:

$CD = sqrt{mathbf{CD} cdot mathbf{CD}} = sqrt{6^2 + 1,5^2} = sqrt{38,25}$

$AE = sqrt{mathbf{AE} cdot mathbf{AE}} = sqrt{6^2 + 7,5^2} = sqrt{92,25}$

$BF = sqrt{mathbf{BF} cdot mathbf{DF}} = sqrt{0^2 + 6^2} = 6$