Question

Осевое сечение конуса - правильный треугольник со стороной а. Найдите объемы конуса и описанного около него шара. ( Можно решить задачу для а = 6)

Answer 1

Vконуса = 1/3 · πr² · h,
где r - радиус основания конуса, h - высота.
Так как осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, то
r = a/2,
h = a√3/2
Vконуса = 1/3 · π · a²/4 · a√3/2 = πa³√3 / 24

Шар описан около конуса, тогда его центр лежит на высоте конуса, а сечение шара, проходящее через его центр, - круг, описанный около правильного треугольника со стороной а. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника,:
R = a√3/3
Vшара = 4/3 · πR³ = 4/3 · π · a³·3√3/27 = 4πa³√3 / 27