Question

Внутри ящика с тремя выводами находятся только резисторы. Сопротивления между всеми парами выводов 1-2, 2-3 и 3-1 равны соответственно (22 , 25 , 17). Выводы 2 и 3 соединили проводником с пренебрежимо малым сопротивлением. Найдите сопротивление между любой точкой этого проводника и первым выводом.

Answer 1

В условии сказано, что точки 1 и 2 ведут себя омическим образом, т.е. ток через них подчиняется закону Ома, так что $U_{21} = I_{21} R_{21} ,$ где $R_{21} = 22$ Ом.

Так же в условии сказано, что точки 1 и 3 ведут себя омическим образом, т.е. ток через них подчиняется закону Ома, так что $U_{31} = I_{31} R_{31} ,$ где $R_{31} = 17$ Ом.

Если точки 2 и 3 замкнули (соединили проводником с пренебрежимо малым сопротивлением), то это означает, что любая точка проводника между точками 2 и 3 имеет один и тот же потенциал. А значит, разность потенциалов любой точки этого проводника и точки 1 – постоянна, а стало быть, разность потенциалов между точками 1 и 2 равна разности потенциалов между точками 1 и 3. Т.е.:

$U_{21} = U_{31}$ ;

откуда следует, что $I_{21} R_{21} = I_{31} R_{31}$ ;

а значит: $I_{21} = I_{31} \cdot \frac{ R_{31} }{ R_{21} }$ ;


Стало быть, полный ток, который потечёт между точкой 1 и проводником замыкания будет:

$I_1 = I_{21} + I_{31} = I_{31} \cdot \frac{ R_{31} }{ R_{21} } + I_{31} = I_{31} ( \frac{ R_{31} }{ R_{21} } + 1 ) = I_{31} \cdot \frac{ R_{31} + R_{21} }{ R_{21} }$ ;


А напряжение между точкой 1 и проводником замыкания равно:

$U_1 = U_{21} = U_{31}$ ;


Что окончательно позволяет вычислить искомое сопротивление между точкой 1 и проводником замыкания из закона Ома:

$R_1 = \frac{U_1}{I_1} = U_1 : ( I_{31} \cdot \frac{ R_{31} + R_{21} }{ R_{21} } ) = \frac{U_{31}}{I_{31}} \cdot \frac{ R_{21} }{ R_{31} + R_{21} } = R_{31} \cdot \frac{ R_{21} }{ R_{31} + R_{21} } = \frac{ R_{31} \cdot R_{21} }{ R_{31} + R_{21} } = \frac{ 1 }{ 1/R_{31} + 1/R_{21} } .$


Умозрительно, без всякого анализа, задачу можно было бы решить и так. Поскольку точки 2 и 3 замыкают, то при подключении прибора к сети, эквивалентные сопротивления $R_{21}$ и $R_{21}$ оказываются включенными параллельно, так что можно воспользоваться обшей формулой для сопротивлений, подключаемых параллельно, т.е. формулой гармонической суммы:

$R_1 = \frac{ 1 }{ 1/R_{31} + 1/R_{21} } = \frac{ 1 }{ 1/22 + 1/17 }$ Ом $= \frac{ 17 \cdot 22 }{ 22 + 17 }$ Ом $=$

$= \frac{ 187 \cdot 2 }{39}$ Ом $= \frac{374}{39}$ Ом $\approx 9.59$ Ом.


О т в е т : $9.59$ Ом.