Question

Решите уравнения логарифмируя обе их части. 50 баллов

Answer 1

1) $x^{lgx} =10000$

ОДЗ: $x textgreater 0$

$lgx^{lgx} =lg10000$

$lgx*lgx =lg10^4$

$lg^2x =4$

$(lgx -2)(lgx+2)=0$

$lgx -2=0$  или  $lgx+2=0$

$lgx =2$  или $lgx=-2$

$x=100$  или  $x=0.01$

Ответ: $100;$ $0.01$

2) $x^{ log_{2} x+2} =8$

ОДЗ: $x textgreater 0$

$log_{2} x^{ log_{2} x+2} =log_{2}8$

$({ log_{2} x+2})*log_{2} x =log_{2}2^3$

${ log^2_{2} x+2}log_{2} x -3=0$

Замена: $log_{2} x =t$

$t^2+2t-3=0$

$D=2^2-4*1*(-3)=4+12=16$
$t_1=1$
$t_2=-3$

$log_{2} x=1$  или  $log_{2} x=-3$

$x=2$  или $x= frac{1}{8}$

Ответ: $2;$ $frac{1}{8}$

3) $x^{ log_{3} x-4}= frac{1}{27}$

ОДЗ: $x textgreater 0$

$log_{3} x^{ log_{3} x-4}= log_{3}frac{1}{27}$

$({ log_{3} x-4})* log_{3}x= log_{3} 3^{-3}$

${ log^2_{3} x-4} log_{3}x={-3}$

${ log^2_{3} x-4} log_{3}x+3=0$

Замена: $log_{3}x=t$

$t^2-4t+3=0$

$D=(-4)^2-4*1*3=16-12=4$
$t_1=3$
$t_2=1$

$log_{3}x=3$  или  $log_{3}x=1$

$x=27$  или  $x=3$

Ответ: $27;$ $3$