Question

Некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, а другое натуральное число при делении на 7 даёт в остатке 3. Дакажите, что сумма кубов этих чисел делится на 7.

Answer 1

7n+2 одно число

7m+3 другое число

( 7n+2)³+( 7m+3)³=(7n+2+7m+3)((7n+2)²-(7n+2)( 7m+3)+( 7m+3)²)=

=(7n+7m+5)(49n²+28n+4-49nm-35n-6+49m²+42m+9)=

=  (7n+7m+5)(49n²+49m²-7n-49nm+7)= (7n+7m+5) (7n²+7m²-1n-7nm+1)*7

Из трёх множителей один делится на 7, значит всё произведение делится на 7

Что и требовалось доказать!!! 

Answer 2

Первый способ

Если некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, то его можно записать в виде 7k+2, где k - некоторое целое число

Если некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, то его можно записать в виде 7m+3, где m - некоторое целое число

 

$(7k+2)^3+(7m+3)^3=\\ (7k)^3+3*(7k)^2*2+3*(7k)*2^2+2^3+(7m)^3+3*(7m)^2*3+3*(7m)*3^2+3^3=\\ 343k^3+294k^2+84k+8+343m^3+441m^2+189m+27=\\ 7*49k^3+7*42k^2+7*12k+7*49m^3+7*63m^2+7*27m+35=\\ 7(49k^3+42k^2+12k+49m^3+63m^2+27m+5)$

Один из множителей (а именно 7) в разложении суммы данных чисел делится на 7, значит и сумма кубов этих чисел делится на 7. Доказано

 

второй способ.

Остаток от деления произведения на число равен остатку от произведения остатков на это число.

Остаток от деления суммы на число равен остатку суммы остатков слагаемых на число

 

Поэтому Если некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 2, то куб этого числа дает такой же остаток как и число 2^3=2*2*2=8 а значит дает остаток 1

Некоторое число при делении на 7 даёт в остатке 3, то куб этого числа дает такой же остаток как и число 3^3=3*3*3=27 а значит дает остаток 6

 

Так как 1+6=7 то сумма кубов єтих чисел делится на 7. Доказано