Question

При каких значениях a неравенство верно при любых x?

 

$ax^2-4(a-1)x+2a>0$

 

С объяснением пожалуйста. Заранее благодарен.)

Answer 1

Неравенство верно при любых x когда вершина параболы $y=ax^2-4(a-1)x+2a$ находится выше оси Ox

$x_B=-frac{b}{2a}=frac{4(a-1)}{2a}=frac{4a-4}{2a}=2-frac{2}{a} \ \ y_B=a(2-frac{2}{a})^2-4(a-1)(2-frac{2}{a})+2a= \ \ =4a-8+frac{4}{a}-4(2a-2-2+frac{2}{a})+2a= \ \ =4a-8+frac{4}{a}-8a+16-frac{8}{a}+2a=-2a+frac{4}{a}+8 \ \ -2a+frac{4}{a}+8>0 \ \ -2a^2+8a+4>0 \ a^2-4a-2<0 \ a^2-4a-2=0 \ D=16+8=24 \ \ a_1=frac{4+sqrt{24}}{2}=2+sqrt6 a_2=frac{4-sqrt{24}}{2}=2-sqrt6 \ \ a in (2-sqrt6; 2+sqrt6)$