Question

в треугольнику АВС медиана АМ в четыре раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 60 градусов.найдите угол МАС

Answer 1

Положим что $AB=4x AM=x$ , и по теореме косинусов                         
$BM=sqrt{(4x)^2+x^2 - 2*x*4x*cos60а } = x sqrt{13} \ frac{x}{sinangle ABM } = frac{ sqrt{13} x}{ sin60а } \ sinangle ABM = frac{sqrt{3}}{2sqrt{13}}$                  
По теореме косинусов , найдем третью сторону                                      
 $AC = sqrt{(4x)^2 + (2sqrt{13}x)^2 - 2*4x * (2*sqrt{13}x) * sqrt{1-frac{3}{4*13}}} = \ AC = sqrt{ 68x^2-56x^2 } = 2sqrt{2}x$               
$S_{ABC} = frac{AB*AM * sin60 + AM*AC*sin angle MAC }{2} \ S_{ABC} = frac{AB*2BM*sin angle ABC }{2}$             
Подставляя найденные значения получим    
 $frac{ 4x^2*sin60а+x*sqrt{12}x * sin angle MAC}{2} = frac{4x*2xsqrt{13}* frac{sqrt{3}}{ 2 sqrt{13}}}{2} \ 2x^2*sqrt{3}+x^2sqrt{12}*sinangle MAC = 4x^2sqrt{3} \ 2sqrt{3}+sqrt{12}*sin angle MAC = 4sqrt{3} \ sin angle MAC = 1 \ angle MAC = 90а$               

Answer 2

BM=MC , AB =4AM , ∠MAB =60°.
-------
∠MAC -?

Продолжаем медиана AM  на  MD = AM. ABDC параллелограмм:  ∠MAC=∠DAC=∠ADB.  
Из ΔABD  по теореме косинусов :  
BD² =AB² +AD² -2AB*AD*cos∠DAB || AD =2AM=2x, AB=4AM=4x,∠DAB=∠MAB =60°||;
BD² =(4x)² +(2x)² - 2*4x*2x*cos60° = 20x²  - 2*4x*2x*1/2 = 12x².
 Следовательно   AD²+ BD²  =4x²+12x² =16x²  =AB².
По обратной теореме Пифагора следует, что треугольник  ADB прямоугольный :
∠ADB =90°.  
∠MAC =∠ADB = 90°.

ответ: 90°.