Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции y= - 16/3 * x^(3/2) + 1/3 *x^3 на промежутке [1;9]

Answer 1

$y = -dfrac{16}{3} x^{frac{3}{2}} + dfrac{1}{3} x^3$

Степенная функция с рациональным показателем степени определена при х > 0.

$y'=(-dfrac{16}{3} x^{frac{3}{2}})' + (dfrac{1}{3} x^3)'=-dfrac{16}{3}*dfrac{3}{2} x^{frac{1}{2}} + dfrac{1}{3}*3 x^2 =\ \ =-8x^frac{1}{2} +x^2 =x^2-8x^{frac{1}{2}} =x^frac{1}{2} (x^frac{3}{2} - 8)$

В точках локальных экстремумов первая производная равна нулю.

$y'=x^frac{1}{2} (x^frac{3}{2} - 8)=0\ \ 1) x^frac{1}{2} =0; x_1 = 0\ \ 2) x^frac{3}{2} - 8=0; (sqrt{x} )^3=2^3;sqrt{x} =2; x_2=4$

Точка x₁ = 0 в промежуток [1; 9] не попадает.

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение функции на интервале, нужно вычислить значение функции в точках экстремумов и на концах интервала.

$x=1; y = -dfrac{16}{3}* 1^{frac{3}{2}} + dfrac{1}{3}* 1^3=-dfrac{16}{3} +dfrac{1}{3} =-5\ \ x=4; y = -dfrac{16}{3}* 4^{frac{3}{2}} + dfrac{1}{3}* 4^3=-dfrac{16*8}{3} +dfrac{64}{3} =-21dfrac{1}{3} \ \ x=9;y = -dfrac{16}{3}* 9^{frac{3}{2}} + dfrac{1}{3} *9^3=-dfrac{16*3^3}{3} + dfrac{3^6}{3}=-144+243=99$

Ответ: наименьшее значение функции f(4) = $-21dfrac{1}{3}$;

            наибольшее значение функции f(9) = 99