Question

Найдите производные следующих функций
1)$y= frac{2 sqrt{x} }{x^3}$
2)$y= frac{6 sqrt[3]{x} }{ sqrt{x} }$
3)$y= sqrt[4]{ frac{1}{x^3} }$
4)$y= sqrt[3]{ frac{1}{x^{-2} } }$
5)$f(x)=x^{-2} sqrt{x} sqrt[3]{x}$
6)$s= frac{ sqrt[3]{t} sqrt[3]{t^2} }{t sqrt{t} }$

Answer 1

1) y=2√x = 2x^(¹/₂ -3) = 2x^(-2.5)
         x³
y' = 2*(-2.5)x^(-2.5-1) = -5x^(-3.5) = _    5    
                                                             (x³) √x

2) y= 6∛x = 6x^(¹/₃ - ¹/₂) = 6x^(⁻¹/₆)
           √x
y' = 6*(-¹/₆) x^(-¹/₆ -1)= -x^(-⁷/₆) = - 1       
                                                      x (⁶√x)

3) y=⁴√(1/x³) =     1      =  x^(-³/₄)
                         x^(³/₄)
y' = -³/₄ x^(-³/₄ - ⁴/₄) = -³/₄ x^(⁻⁷/₄) =       - 3        
                                                         4x (⁴√(x³))

4) y=∛(1/x⁻²) =      1       =  x^(²/₃)
                         x^(⁻²/₃)
y' =²/₃ x^(²/₃ - ³/₃) = ²/₃ x^(-¹/₃) =  2    
                                                  3 ∛x

5) f(x) =x⁻² √x ∛x = x^(-2 + ¹/₂ + ¹/₃) = x^(-¹²/₆ + ³/₆ + ²/₆) = x^(⁻⁷/₆)
f(x)' = -⁷/₆ x^(-⁷/₆ - ⁶/₆) = -⁷/₆ x^(⁻¹³/₆) =       -7      
                                                              6x² (⁶√x)

6) S= ∛t ∛(t²) = t^(¹/₃ + ²/₃ - 1) =t⁰ = 1
            t√1
S' = (1)' = 0