Question

В квадрате АВСD точка М на стороне АВ и точка N на диагонали АС расположены так, что АМ: МВ = 3: 4, АN: NC = 5: 2. Докажите, что угол DNM прямой.

Answer 1

См. рисунок.
т.М делит сторону квадрата в отнош 3:4, соответственно на отрезки 3 и 4 единицы (неважно какие размерности). Сторона квадрата -7 единиц.
т.N  делит диагональ в отношении 5:2 ( это уже не 5 и 2 единицы, это только отношение.)
Проведем перпендикуляры (красные линии). Они делят стороны в отношении тоже 5:2, но теперь на 5 и 2 единиц.
И рассмотрим получившиеся треугольники MNY, NDX,MAD
$MN^{2}= 2^{2} + 5^{2} =29 \ ND^{2} = 2^{2} + 5^{2} = 29 \ MD^{2}= 3^{2} +7^{2}=58$
в треугольнике MND
$MN^{2}+ND^{2}=29+29=58=MD^{2}$
а такое может быть только в прямоугольном треугольнике.