Question

Решите,пожалуйста,уравнение: 5sin2x-11(sinx+cosx)+7=0

Answer 1

$5sin2x-11(sinx+cosx)+7=0\\t=sinx+cosx; ,t^2=sin^2x+cos^2x+2sinxcdot cosx=1+sin2x; Rightarrow \\sin2x=t^2-1\\5(t^2-1)-11t+7=0\\5t^2-11t+2=0\\D=121-40=81\\t_1=frac{11-9}{10}=frac{2}{10}=frac{1}{5}; ,; t_2=frac{20}{10}=2\\a); ; sinx+cosx=frac{1}{5}|:sqrt2$

$frac{1}{sqrt2}sinx+frac{1}{sqrt2}cosx=frac{1}{5sqrt2}\\cosfrac{pi}{4}sinx+sinfrac{pi}{4}cosx=frac{1}{5sqrt2}\\sin(x+frac{pi}{4})=frac{1}{5sqrt2}\\x+frac{pi}{4}+(-1)^{n}cdot arcsinfrac{1}{5sqrt2}+pi n; ,; nin Z\\x=(-1)^{n}cdot arcsin frac{1}{5sqrt2}-frac{pi}{4}+pi n; ,; nin Z\\b); ; sinx+cosx=2\\sin(x+frac{pi}{4})=frac{2}{sqrt2} textgreater 1; ; Rightarrow ; ; ney; reshenij,; t.k.; |sin alpha | leq 1$

Ответ:  $x=(-1)^{n}arcsinfrac{1}{5sqrt2}-frac{pi}{4}+pi n,; ninZ$

Можно было преобразовать sinx+cosx по другому:

$sinx+cosx=sinx+sin(frac{pi}{2}-x)=2sinfrac{x+(frac{pi }{2}-x)}{2}cdot cosfrac{x-(frac{pi}{2}-x)}{2}=\\=2sinfrac{pi}{4}cos(x-frac{pi}{4})=2cdot frac{1}{sqrt2}cos(x-frac{pi}{4})=sqrt2cos(x-frac{pi}{4})$

Тогда 

 $sqrt2cos(x-frac{pi}{4})=frac{1}{5}\\cos(x-frac{pi}{4})=frac{1}{5sqrt2}$

$x-frac{pi}{4}=pm arccosfrac{1}{5sqrt2}+2pi n; ,; nin Z\\x=frac{pi}{4}pm arccosfrac{1}{5sqrt2}+2pi n; ,; nin Z$

Ответ будет иметь другой вид, но это те же точки.

Answer 2

Спасибо за такое красивое решение!!!