Question

В треугольнике ABC проведены высота BD и биссектриса BE. EF - высота треугольника ABE. Площади треугольников ABD и DBC имеют соотношение 18:7 , а отрезки BE:EF=2:1. Доказать, что начальный треугольник равнобедренный и найти отношение между его сторонами.

Answer 1

 Из треугольника
$Delta BEF \ frac{EF}{BF}=sin angle ABE = frac{1}{2}\ angle ABE=frac{pi}{3}=30а$ 
Так как
$frac{S_{ABD}}{S_{BDC}} = frac{AD*BD}{CD*BD} = frac{18}{7} \ frac{AD}{CD} = frac{18}{7}$ 
Так как $BE$ биссектриса , то
$ABC = 2*angle ABE = 60а \ frac{18}{7} = frac{AD}{CD}$                      
$angle BAC=b\ BD= frac{ADsinb}{cosb}\ BD = frac{CDsin(frac{2pi}{3}-b)}{cos(frac{2pi}{3}-b)} \ frac{ tgb }{tg(frac{2pi}{3}-b )} = frac{7}{18} \ frac{sqrt{3}-2*cos( 2b- frac{pi}{6} )}{2cos(2b-frac{pi}{6})+sqrt{3}} = frac{7}{18} \ cos(2b-frac{pi}{6})=x \ x = frac{11sqrt{3}}{50}$               
$b= frac{pi}{3}-0.5*arcsin ( frac{11*sqrt{3}}{50} )$  
Отсюда конечно можно найти соотношение между сторонами  (зная углы , сделать это можно) ,но оно не целостно выражается , и выходит что треугольник не равнобедренный , возможно  где-то ошибка , либо я ошибся