Question

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми:
r = 8sin4α

Answer 1

Уравнение задаёт в полярной системе координат четырёхлепестковую розу. Лепестки будут располагаться в секторах, ограниченных прямыми

$\varphi =0,\; \varphi =\frac{\pi}{4},\; \varphi =\frac{\pi}{2},\; \varphi =\frac{3\pi}{4},\; \varphi =\pi ,\; \varphi =\frac{5\pi}{4},\; \varphi =\frac{3\pi}{2},\; \varphi =\frac{7\pi}{4},$

так как 

$r=8sin4\varphi \geq 0\; \; \Rightarrow \; \; sin4\varphi \geq 0\\\\2\pi n \leq 4\varphi \leq \pi +2\pi n\; , \; n\in Z\\\\\frac{\pi n}{2} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\\\\n=0:\; 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}\\\\n=1:\; \frac{\pi}{2}\leq \varphi \leq \frac{3\pi}{4}\\\\n=2:\; \pi \leq \varphi \leq \frac{5\pi}{4}$

$n=3:\; \frac{3\pi}{2} \leq \varphi \leq \frac{7\pi }{4}$

При n=4,5,... секторы будут повторяться.
Достаточно подсчитать площадь одного лепестка и умножить её на 4, чтобы найти площадь розы.

$S=\frac{1}{2}\int _{\varphi _1}^{\varphi _2}r^2(\varphi )d\varphi \\\\S=4\cdot \frac{1}{2}\int _0^{\frac{\pi}{4}}\, 8^2sin^24\varphi d\varphi =2\cdot 8^2\int _0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1-cos8\varphi }{2}d\varphi =\\\\=8^2\int _0^{\frac{\pi}{4}}(1-cos8\varphi )d\varphi =8^2(\varphi -\frac{1}{8}sin8\varphi )|_0^\frac{\pi}{4}=\\\\=8^2(\frac{\pi}{4}-\frac{1}{8}sin2\pi )=16\cdot \pi$