Question

заранее спасибо!
СОКРАТИТЬ ДРОБЬ:
1) х^3+2х^2+9 / х^3-2х^2+4х-3
2) х^4-2х^3+х-2 / 2х^4-3х^3-х-6

РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ :
1) х^5-х^4-7х^3+7х^2+12х-12=0
2) х^6+х^5-7х^4-5х^3+16х^2+6х-12=0

Answer 1

Чтобы сократить дробь нужно числитель и знаменатель дроби разложить на множители
 $\frac{x^3+2x^2+9}{x^3-2x^2+4x-3}= \frac{(x+3)(x^2-x+3)}{(x-1)(x^2-x+3)}= \frac{x+3}{x-1}$
Подробное разложение на множители

Числитель: $x^3+2x^2+9=x^3+3x^2-x^2-3x+3x+9=\\=x^2(x+3)-x(x+3)+3(x+3)=\boxed{(x+3)(x^2-x+3)}$
Знаменатель: $x^3-2x^2+4x-3=x^3-x^2-x^2+x+3x-3=\\=x^2(x-1)-x(x-1)+3(x-1)=\boxed{(x-1)(x^2-x+3)}$


$\frac{x^4-2x^3+x-2}{2x^4-3x^3-x-6} = \frac{(x^2-x+1)(x^2-x-2)}{(2x^2-x+3)(x^2-x-2)}= \frac{x^2-x+1}{2x^2-x+3}$

Числитель: $x^4-2x^3+x-2=x^3(x-2)+x-2=(x-2)(x+1)(x^2-x+1)$

Знаменатель: $2x^4+2x^3-5x^3-5x^2+5x^2+5x-6x-6=\\ =2x^3(x+1)-5x^2(x+1)+5x(x+1)-6(x+1)=(x+1)(x-2)(2x^2-x+3)$


Решить уравнения
$x^5-x^4-7x^3+7x^2+12x-12=0\\x^4(x-1)-7x^2(x-1)+12(x-1)=0\\ (x-1)(x^4-7x^2+12)=0\\ x-1=0\\ x_1=1\\ x^4-7x^2+12=0$
 Пусть x² = t (t≥0), тогда получаем
t²-7t+12 =0
 По т. Виета:
t1 = 3
t2 = 4

Возвращаемся к замене
$x^2=3\\ x_2_,_3=\pm \sqrt{3} \\ \\ x^2=4\\ x_4_,_5=\pm2$

Ответ: $1;\,\, \pm2;\,\,\, \pm\sqrt{3}$


$x^6+x^5-7x^4-5x^3+16x^2+6x-12=0$
Если подобрать корни, то корнем будет х=1, следовательно нужно разложить на множители левую часть уравнения, причем х=1, значит нужен многочлен (x-1)
 Добавим и вычтем слагаемые
$x^6-x^5+2x^5-2x^4-5x^4+5x^3-10x^3+10x^2+6x^2-6x+12x-12=0$
$x^5(x-1)+2x^4(x-1)-5x^3(x-1)-10x^2(x-1)+6x(x-1)+12(x-1)=0$
$(x-1)(x^5+2x^4-5x^3-10x^2+6x+12)=0\\ x-1=0\\ x=1\\ x^5+2x^4-5x^3-10x^2+6x+12=0$
Опять корнем подходит х=-2, значит многочлен (х+2), добавим и вычтем слагаемые
$x^5+2x^4-5x^3-10x^2+6x+12=0\\ x^4(x+2)-(5x^2-6)(x+2)=0\\ (x+2)(x^4-5x^2+6)=0\\ x+2=0\\ x=-2\\ x^4-5x^2+6=0$
Пусть x² = t (t≥0)
t² - 5t + 6 = 0
По т. Виета: 
x1 = 2
x2 = 3

Возвращаемся к замене
$x^2=2\\ x=\pm \sqrt{2} \\ \\ x^2=3\\ x=\pm\sqrt{3}$

Ответ: $-2;\,\,1;\,\, \pm\sqrt{2};\,\, \pm \sqrt{3}$