Question

Решите уравнение $xy+x-y=2$ в целых числах (диофантово уравнение).

Answer 1

Найти все $\displaystyle \{x,y\}$ такие, что $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}$ и $\displaystyle xy+x-y=2$.

Решим $\displaystyle xy+x-y=2$ для $\displaystyle x$.
Прибавим $\displaystyle y$ к обеим частям уравнения:
$\displaystyle xy+x=y+2;$
Вынесем $\displaystyle x$ за скобки в левой части уравнения:
$\displaystyle x(y+1)=y+2;$
Рассмотрим случай, когда $\displaystyle y\neq{-1}$, и разделим обе части уравнения на $\displaystyle y+1$:
$\displaystyle x=\frac{y+2}{y+1};$
Запишем член $\displaystyle 2$ в числителе в правой части уравнения как $\displaystyle 1+1$:
$\displaystyle x=\frac{y+1+1}{y+1};$
Разобём дробь в правой части уравнения на сумму дробей:
$\displaystyle x=\frac{y+1}{y+1}+\frac{1}{y+1};$
Упростим:
$\displaystyle x=1+\frac{1}{y+1}.$

Заметим, что $\displaystyle x$ является целым тогда и только тогда, когда член $\displaystyle\frac{1}{y+1}$ в правой части уравнения является целым.

Член $\displaystyle\frac{1}{y+1}$ является целым тогда и только тогда, когда знаменатель противоположен или является делителем числителя.

Числитель $\displaystyle 1$ имеет ровно один делитель: $\displaystyle 1$. Получаем:
$\displaystyle y+1=1 \lor y+1=-1$.
Решим для $\displaystyle y$.
Прибавим $\displaystyle -1$ к обеим частям уравнений:
$\displaystyle y=0 \lor y=-2$.

Подставим в исходное уравнение, решённое для $\displaystyle x$:
$\displaystyle x=1+\frac{1}{0+1}=2 \lor x=1+\frac{1}{-2+1}=0.$

Проверим, есть ли решения при исключённом случае $\displaystyle y=-1$, подставив в исходное уравнение $\displaystyle y=-1$:
$\displaystyle x\times(-1)+x-(-1)=2;$
$\displaystyle -x+x+1=2;$
$\displaystyle 1=2$, следовательно, при $\displaystyle y=-1$ решений нет.

$\displaystyle\boxed{x=0 \land y=-2 \lor x=2 \land y=0}\phantom{.}.$