Question

X^2+(1/x^2)-x-(1/x)-4=0

Answer 1

$x^2+\frac{1}{x^2}-x-\frac{1}{x}-4=0$
ОДЗ: $x^2 \neq 0; x \neq 0$
$x \neq 0$
введем замену
$t=x+\frac{1}{x}; |t| \geq 2$

(небольшое пояснение: если x>0;
$\frac{(x-1)^2}{x} \geq 0;$
<=>
$\frac{x^2-2x+1}{x} \geq >0;$
$x+\frac{1}{x} \geq 2$
аналогично если x<0: Получим
$x+\frac{1}{x} \leq -2$
поєтому $|x+\frac{1}{x}| \geq 2$
$t \geq 2$)

тогда $x^2+\frac{1}{x^2}=x^2+2+(\frac{1}{x})^2-2=x^2+2*x*\frac{1}{x}+(\frac{1}{x})^2-2\\\\(x+\frac{1}{x})^2-2=t^2-2$
$x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2$
перепишем уравнение
$t^2-2-t-4=0$
$t^2-t-6=0$
$(t-3)(t+2)=0$
$t+2=0;t_1=-2$
$t-3=0;t_2=3$
возвращаемся к замене
$x+\frac{1}{x}=-2$
$x^2+2x+1=0$
$(x+1)^2=0$
$x_{1,2}=-1$

$x+\frac{1}{x}=3$
$x^2-3x+1=0$
$D=(-3)^2-4*1*1=9-4=5$
$x_{3,4}=\frac{3^+_-\sqrt{5}}{2}$
ответ: -1 (или -1 кратности 2), $\frac{3^+_-\sqrt{5}}{2}$