Question

найдите промежутки монотонности функции f(x) = (x+2)^2/(x-1)! СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

$f(x) = \frac{(x+2)^2}{x-1}= \frac{x^2+4x+4}{x-1}$
ОДЗ $x \neq 1$

$f'(x)= \frac{(x^2+4x+4)'*(x-1)-(x-1)'*(x^2+4x+4)}{(x-1)^2}=\\=\frac{(2x+4)*(x-1)-(x^2+4x+4)}{(x-1)^2}=\frac{(2x^2-2x+4x-4)}{(x-1^)^2}=\frac{2x^2-2x-4}{(x-1)^2}$

Приравниваем производную к нулю и находим корни, не забывает про ОДЗ.
1)$(x-1)^2=x^2-2x+1 \\\\ D=4-4=0 \\ x= \frac{-b}{2a}= \frac{2}{2}=1$,
Корень 1 не подходит, так как ОДЗ запрещает)

2) $2x^2 - 2x - 4 = 0$

Найдем дискриминант квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4*2*(-4) = 4 + 32 = 36$

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{36}}{2*2}= \frac{2-6}{4} = \frac{-4}{4} = -1$ 

$x_2 = \frac{2 + \sqrt{36}}{2*2}= \frac{2+6}{4} = \frac{8}{4} = 2$


   +              -              +
____ /_________ /_____
       -1                  2
  ↗            ↘            ↗
       max            min