Question

Три положительных числа образуют геометрическую прогрессию. Если ее    первый член умножить на -3, то полученные числа будут образовывать в том же порядке арифметическую прогрессию. Чему равен знаменатель исходной геометрической прогрессии? 

Answer 1

Составляем систему уравнений
$\left \{ {{-3a+d=aq } \atop {aq+d=aq^{2}}} \right.$, где а-первый член геометрической прогрессии, d-разница арифметической прогрессии, q-знаменатель исходной геометрической прогрессии. Решаем систему уравнений. Получаем, отняв от второй строки системы первую,
aq+3a=aq²-aq
aq+3a-aq²+aq=0
2aq+3a-aq²=0
2aq+3a-aq²=0
a(-q²+2q+3)=0
Значит либо а=0 (но а≠0 т.к. это первый член геометрической прогрессии), либо -q²+2q+3=0
-q²+2q+3=0
q²-2q-3=0
$\left \{ {{q_{1}+q_{2}=2} \atop {q_{1}q_{2}=-3} \right.$
$q_{1}=3;q_{2}=-1.$
Если бы знаменатель геометрической прогрессии был равен -1, то второе число прогрессии было бы отрицательно, что противоречит условию задачи
Ответ:q=3