Question

Найдите сумму корней (или корень, если он один) уравнения:

$\frac{4x}{4 x^{2} -8x+7} + \frac{3x}{4 x^{2} -10x+7} =1$

Answer 1

4x(4x^2-10x+7)+3x(4x^2-8x+7)=(4x^2-8x+7)(4x^2-10x+7)
16x^3-40x^2+28x+12x^3-24x^2+21x=16x^4-40x^3+28x^2-32x^3+80x^2-56x+28x^2-70x+49
28x^3-64x^2+49x=16x^4-72x^3+136x^2-126x+49
100x^3-200x^2+175x-49-16x^4=0
-16x^4+100x^3-200x^2+175x-49=0/-1
16x^4-100x^3+200x^2-175x+49=0
(2x-7)(2x-1)(4x^2-9x+7)=0
1)2x-7=0
2x=7
x=7/2

2)2x-1=0
2x=1
x=1/2

3)4x^2-9x+7=0
d=81-112=-31<0

Ответ:( 7/2:1/2)
Сумма корней:  7/2+1/2=8/2=4

Answer 2

$\frac{4x}{4x^2-8x+7} + \frac{3x}{4x^2-10x+7} =1 \\ \\ -1+ \frac{4x}{4x^2-8x+7} + \frac{3x}{4x^2-10x+7}=0|\cdot (4x^2-8x+7)(4x^2-10x+7) \\ \\ -(4x^2-8x+7)(4x^2-10x+7)+28x^3-64x^2+49x=0 \\ -(4x^2-8x+7)(4x^2-10x+7)+x(28x^2-64x+49)=0 \\ -(4(x+ \frac{7}{4x})-8 )(4(x+ \frac{7}{4x})-10)+28(x+ \frac{7}{4x})-64=0$

Пусть $x+ \frac{7}{4x}=t$, получаем

$-(4t-8)(4t-10)+28t-64=0 \\ -16t^2+72t-80+28t-64=0 \\ 16t^2-100t+144=0|:4 \\ 4t^2-25t+36=0 \\ D=b^2-4ac=(-25)^2-4\cdot4\cdot 36=49;\,\, \sqrt{D} =7$

$t_1= \frac{25-7}{2\cdot4} =2.25\\ t_2= \frac{25+7}{2\cdot 4} =4$

Обратная замена
$x+ \frac{7}{4x}=2.25|\cdot 4x \\ 4x^2-9x+7=0 \\ D=b^2-4ac=(-9)^2-4\cdot 4\cdot 7=-31$
D<0, значит уравнение корней не имеет

$x+ \frac{7}{4x}=4|\cdot 4x \\ 4x^2-16x+7=0 \\ D=(-16)^2-16\cdot 7=144;\,\, \sqrt{D} =12 \\ \\ x_1=\frac{16-12}{2\cdot 4} =0.5 \\ x_2= \frac{16+12}{2\cdot 4}=3.5$

Сумма корней $3.5+0.5=4$

Ответ: $4$