Question

Помогите решить пожалуйста.
Определить объем треугольной пирамиды, если каждое боковое ребро равно $a$, а плоские углы при вершине соответственно равны 60,90,120

Answer 1

Пирамида ABCD ,AD=BD=CD=a,<ADC=120,<ADB=90,<BDC=60,DO-высота
Найдем стороны основания по теореме косинусов
AC²=AD²+CD²-2AD*CDcos<ADC=a²+a²-2a*a*(-1/2)=2a²+a²=3a²⇒AC=a√3
AB²=AD²+BD²=a²+a²=2a²⇒AB=a√2
BC²=BD²+CD²-2BD*CDcos<BDC=a²+a²-2a*a*1/2=2a²-a²=a²⇒BC=a
AC²=AB²+BC²⇒ΔABCпрямоугольный,<B=90
Так как все ребра равны,то основание высоты будет центром описанной окружности⇒AO=BO=CO=1/2AC=a√3/2
DO=√AD²-AO²=√a²-3a²/4=√a²/4=a/2
V=1/3S(ABC)*DO
V=1/3*AB*BC*DO=1/3*a√2*a*a/2=a³√2/6