Question

Решите номер 9 и 10,пожалуйста

Answer 1

В треугольнике ВЕС проведены биссектриса ВК и отрезок СМ ( М ∈ ВЕ), причем МК||ВС, ЕМ=ЕК. Докажите, что СМ - биссектриса треугольника ВЕС. 
В треугольнике МЕК стороны ЕМ=ЕК, следовательно, треугольник равнобедренный  и углы при его основании МК равны. 
КМ||ВС, ЕВ и  ЕС секущие при  одних и тех же параллельных прямых, ⇒ углы при основаниях треугольников МЕК и ВЕС равны как  соответственные. ⇒
треугольник ВЕС равнобедренный, а четырехугольник ВМКС - равнобедренная трапеция. 
∠ МВК=∠ КВС ( ВК- биссектриса). ∠  МКВ=углу КВС - накрестлежащие. Треугольник МАК - равнобедренный. ∠  КМС=∠ МСВ как накрестлежащие. Но ∠  МСВ - половина ∠  ЕСВ, т.к. равен углу МКВ, половине равного ему угла ЕВС. Следовательно, ∠ МСВ= ∠  МСК и   СМ - биссектриса, ч.т.д. -----
В треугольнике АВС сторона АВ равна 16, отрезки АК и ВМ являются высотами треугольника. Угол С равен 105°. Найдите площадь треугольника МРК, если Р - середина стороны АВ. 

Треугольники АМВ и АКВ - прямоугольные по построению. 
В⊿ АВМ отрезок  МР  - медиана к гипотенузе АВ.
В ⊿ АКВ отрезок КР - медиана к гипотенузе АВ.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,  равна её половине.
 РК=РМ=АВ:2=R=8
Угол С=105° и является внешним для треугольника ВМС. 
Внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. 
Т.к. угол ВМС=90°, угол СВМ=105°- 90°=15°
Опишем вокруг четырехугольника АВКР окружность радиуса R=РК=РМ
Вписанный ∠ КВМ опирается на хорду КМ, ⇒
центральный ∠ КРМ, опирающийся на ту же хорду, вдвое больше ∠ КВМ,
∠ КРМ=15°*2=30° 
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон, умноженной на синус угла между ними.
S ∆ КВМ= 0,5*РК*РМ*sin (30°)S ∆ KBM=0,5*64*0,5=16 (ед. площади)