Question

Чему равно наименьшее значение выражения 10a+a2+c2−2ac−10c + 1

Answer 1

$10a+a^2+c^2-2ac-10c+1=\\=(a^2-2ac+c^2)+(10a-10c)+1=\\=(a-c)^2+10(a-c)+1\\\\f(a-c)=(a-c)^2+10(a-c)+1$
Производим замену переменной:   а-с=х,
тогда f(x)=x²+10x+1

Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. коэффициент при x² больше нуля, значит наименьшим значением выражения является вершина данной параболы. Найдем её:

$x_b= \frac{-10}{2*1}=-5\\\\y_b=(-5)^2-10(-5)+1=25-50+1=-24$

Итак, наименьшее значение выражения равно -24