Question

В окружности с центром О, АC- диаметр , хорда АВ равна отрезку ОВ и равна 2 корень из 3. Найдите площадь тр.АВС .

Answer 1

Рассмотрим два треугольника: АОВ и СОВ. Площадь тр-ка АВС - сумма площадей тр-ков АОВ и СОВ.

АВ=ОВ по условию. АО, ОВ и ОС - радиусы. Следовательно, АО=ОВ=ОС=АВ = 2 корня из 3.

Из уравнения длины хорды найдём угол АОВ:

$L=2Rsinfrac{alpha}2\2cdot2sqrt3sinfrac{alpha}2=2sqrt3\2sinfrac{alpha}2=1Rightarrowsinfrac{alpha}2=frac12Rightarrowfrac{alpha}2=frac{pi}6Rightarrowalpha=frac{pi}3$

Тр-к АОВ - равносторонний, его площадь

$S_{AOB}=frac{sqrt3}4a^2=frac{sqrt3}4(2sqrt3)^2=frac{sqrt3}4cdot12=3sqrt3$

Треугольник СОВ равнобедренный (ОВ=ОС), угол

$COB = 180-AOB =pi-frac{pi}3=frac{2pi}3$ как смежные при АС.

Площадь СОВ:

$S_{COB}=frac12a^2sinalpha=frac12(2sqrt3)^2sinfrac{2pi}3=frac12cdot12cdotfrac{sqrt3}2={3sqrt3}$

Площадь ABC:

$S_{ABC}=S_{AOB}+S_{COB}=3sqrt3+3sqrt3=6sqrt3$