Question

Существует ли такое натуральное число n, что число n^2 представимо в виде суммы квадратов трех попарно взаимно простых натуральных чисел?

Answer 1

 Заметим  что если положить к примеру $a=2x$ , то есть что оно четное , тогда следует что $b;c$ не четные , отсюда следует что можно рассмотреть два случая , когда все нечетные , либо  когда одно число четное 
   четный случаи 
 $a=2x\\ 4x^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2$ 
 $4x^2+4y^2+4y+4z^2+4z+2=n^2$ , квадрат сравним по модулю  $4$ с $0;1$ , то есть  при делений на $4$ остатки равны $0;1$ когда    $n=$  четное и нечетное соответственно 
 но $4(x^2+y^2+z^2+y+z)+2$ , остаток равен $2$ значит не может быть такого случая 
 второй когда все нечетные 
 $(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=n^2\\ 4(x^2+y^2+z^2)+4(x+y+z)+3=n^2$ 
  остаток в этом случае равен $3$ $3 \equiv \ mod \ 4$ , что противоречит , так как остатки могут быть равны $0;1$ 

Значит нет таких чисел