Question

Некоторое простое число возвели в четвертую степень и получили десятизнач-
ное число. Могут ли все цифры полученного числа быть различными?

Answer 1

Нет. Если в 10-значном числе все цифры различные, значит там присутствуют все десять цифр 0,1,2,...,9. Их сумма равна 9*(1+9)/2=45. т,е. делится на 3. Значит и четвертая степень простого тоже делитя на 3. Значит и само исходное простое число обязано делиться на 3. Т.к. есть только одно такое простое - 3, то получаем противоречие, т.к.3^4=81 - и это 2-значное число, а не 10-значное.