Question

ABCD- тетраэдр. Треугольник ABC- прямоугольный с катетами CA=7 и CB=24. CD- перпендикуляр к плоскости ABC, CD=10. Найти угол между плоскостями ABD и ABC.

Answer 1

CA=7,CB=24,<C=90,CD_|_(ABC),CD=10
CH_|_AB
(ABD)∧(ABC)=<DHC
AB=√CB²+CA²=√49+576=√625=25
AH=x,BH=25-x
CH²=CA²-AH²=CB²-BH²
49-x²=576-625+50x-x²
50x=98
x=1,96
CH²=49-3,8416=45,1584
CH≈6,72
tg<DHC=DC/CH≈1,4881
<DHC=56гр 6мин

Answer 2

Угол между пересекающимися плоскостями АВС и АВD - это двугранный  угол. Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. В нашем случае это угол, образованный сечением пирамиды  плоскостью CHD, перпендикулярной обеим плоскостям (АВС и АВD). То есть это угол DHC.
В прямоугольном треугольнике АВС (основание пирамиды) гипотенуза АВ по Пифагору равна √(АС²+ВС²) =√(7²+24²) =25.
Высота СН к гипотенузе равна по свойству этой высоты: СН=АС*ВС/АВ = 7*24/25= 6,72.
Тогда тангенс искомого угла равен отношению DC/CH=10/6,72 ≈1,49. То есть искомый угол равен arctg(1,49) ≈ 56°.
Или так:
Апофема грани ВDА находится по Пифагору из треугольника СDН:
DН=√(DС²+СН²) =√(10²+6,72²) ≈12.
Тогда косинус искомого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: СН/DH = 6,72/12=0,56.
Искомый угол равен arccos(0,56) ≈ 56°.