Question

При подготовке к зачётам по алгебре и математическому анализу студент выучил
по алгебре 27 вопросов из 40, а по математическому анализу – 20 вопрос из 30. Чтобы
получить «зачёт» по предмету, студенту необходимо ответить на один вопрос,
случайным образом выбранный из списка вопросов по данному предмету. Какова
вероятность, что студент не получит «зачёт» хотя бы по одному из этих двух
предметов?

Answer 1

имеем 4 разных события,
$P_1$ когда оба сдаст
$P_2$ когда алгебру сдаст, а матан не сдаст
$P_3$ когда алгебру не сдаст, а сдаст лишь  матан
$P_4$ когда ничего нездасть
сумма єтих вероятностей должна равнятся 1
$P_1+P_2+P_3+P_4=1$
также сдача алгебры будет $P_a=\frac{27}{40}$,  а не сдача
$Q_a=1-P_a=\frac{13}{40}$
аналогично и с матаном
$P_b=\frac{20}{30}=\frac23;\\ Q_b=1-P_b=\frac13$
Собітия несвязані, поєтому мы имеем
$P_1=P_a\cdot P_b=\frac{27}{40}\cdot\frac23=\frac{27}3\cdot\frac{2}{40}=\frac{9}{20}\\ P_2=P_a\cdot Q_b=\frac{27}{40}\cdot\frac13=\frac{27}{3}\cdot\frac{1}{40}=\frac{9}{40};\\ P_3=Q_a\cdot P_b=\frac{13}{40}\cdot\frac{2}{3}=\frac{13}{3}\cdot\frac{2}{40}=\frac{13}{60};\\ P_4=Q_a\cdot Q_b=\frac{13}{40}\cdot\frac13=\frac{13}{120};\\ P_1+P_2+P_3+P_4=\frac{9}{20}+\\ =\frac{9\cdot6+9\cdot3+13\cdot2+13\cdot1}{120}=\frac{54+27+26+13}{120}=\frac{120}{120}=1$
теперь, вероятность того, что он не сдаст хотябі один зачет, сюда входит и собітие, что он оба не сдаст, то по факту это будет
$P_2+P_2+P_4=\frac{9}{40}+\frac{13}{60}+\frac{13}{120}=\frac{9\cdot3+13\cdot2+13}{120}=\\ =\frac{27+26+13}{120}=\frac{66}{120}=\frac{6\cdot11}{6\cdot20}=\frac{11}{20}$
или же $1-P_1=1-\frac{9}{20}=\frac{20-9}{20}=\frac{11}{20}$

Ответ:$\frac{11}{20}$