Question

Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удаленных от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?
решите пожалуйста как можно подробнее)

Answer 1

Пусть наш куб  $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ имеет длину ребра $1$ ,  середина точка $N$ , $N \in A_{1}D_{1}$ так как самая удаленная вершина всегда будет симметрична , какую  бы точку не взять на  середине   ребра данного куба , рассмотрим когда точка лежит , на ребре $A_{1}D_{1}$  
Теперь надо понять как он должен двигаться , с начало в какую сторону  , видно  что  самое удаленная вершина это  точка $B$ , так же и другая есть симметричная  ей  $C$ , но будет рассматривать $B$ . 
так как   $AB<BD$   то есть можно не рассматривать вариант когда паук ползет в сторону $DD_{1}$ , рассмотрим вариант  когда он ползет к стороне  $AA_{1}$ ,  когда паук ползет  к вершине $A_{1}- >B$ , очевидно что расстояние    равно  $\frac{1}{2}+\sqrt{2}=\frac{1+\sqrt{8}}{2}$ , пусть есть некая точка $x$ , которая принадлежит  $AA_{1}$,   по неравенству треугольников  $\frac{1}{2} + A_{1}x > Nx$   
  выразим расстояние , когда паук ползет через точку $x$
  она равна    $A_{1}x=y\\ \sqrt{y^2+\frac{1}{2}^2 } + \sqrt{ (1-y)^2+1}$ 
   получили функцию  $\frac{\sqrt{ 4y^2+1}}{2 } + \sqrt{ 2-2y+y^2 }$ 
 которая имеет критическую точку $y=\frac{1}{3}$  (находится через производную )  ,  минимум $f(\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{13}}{2}$ , что меньше  выше сказанного расстояния  
  Ответ  Паук должен с начало придти к  $A_{1}x$ , потом   к $B$     это есть кратчайшее расстояние