Question

Однородная тонкая пластинка имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие вдвое меньшего радиуса, касающегося края пластинки. Где находится ее центр тяжести?

Answer 1

 ЦТ будет находится  на расстоянии R от центра малой окружности по оси через центр большой окружности

Answer 2

Пусть пластина имеет плотность ρ и толщину d.  Тогда масса целой пластины :  m = ρV = ρπR²d

Масса вырезанной части пластины

$tt m_1=rho V_1=rho pi bigg(dfrac R2bigg)^2d=dfrac14cdotrho pi R^2d$

Масса оставшейся части пластины  

$tt m_2=m-m_1=bigg(1-dfrac 14bigg)rho pi R^2d=dfrac 34rho pi R^2d$

Центр тяжести заштрихованной части пластины находится на прямой, проходящей через центры кругов в силу симметричности.

Так как центр тяжести целой пластины находится в центре круга, то задачу можно решить, уравняв моменты сил тяжести двух частей пластины относительно центра круга.

$tt m_1gcdot l_1=m_2gcdot l_2;\\dfrac 14rho pi R^2dgcdot dfrac R2=dfrac 34rho pi R^2dgcdot x~~~Big|:rho pi R^2dg\\dfrac 14cdot dfrac R2=dfrac 34cdot x;~~~~boxed{boldsimbol{x=dfrac R6}}$

Ответ : центр тяжести закрашенной части пластины находится на прямой, проходящей через центры кругов, на расстоянии R/6 от центра целой пластины.